Óræðar stillingar handan áttundar: Phi-spírall, upplausnir og ójöfn tónbil í Fellingum tímans

Einar Torfi Einarsson

Í þessari grein er fjallað um þær stillingar sem notaðar eru í verkinu Fellingar tímans. Verkið er unnið af undirrituðum í samvinnu við tónlistarhópinn Þelgap og byggir m.a. á tímaþenslu, lagskiptingu, blöndun raf- og akústískra hljóða og vinnslu á hljóð- og kliðlit. Undir þessum ólíku lögum liggur hins vegar ákveðin tónfræðileg hugsun: leit að tónrými sem er ekki lokað í reglulegri áttundarskiptingu heldur opnast sem breytileg, ósamhverf dreifing. Í stað þess að ganga út frá jafnstillingu og reglubundnum endurtekningum er unnið með óræð hlutföll, ójöfn tónbil og það sem kalla mætti phi-mótaðan (φ) spíral í tíðnirými. Þessi grein fjallar um þessa hlið verksins.

Þetta setur verkið í samtal við lengri sögu stillinga. Frá Pýþagórasi til jafnstillingar hefur saga tónfræðinnar að töluverðu leyti snúist um hvernig skipta megi tíðnisviði á nothæfan, sannfærandi og menningarlega sjálfbæran hátt. Í Fellingum tímans eru stillingar hins vegar ekki hugsaðar sem tæknilegt vandamál, heldur formgerðarlegt og heimspekilegt viðfangsefni: hvernig má móta tónrými sem endurspeglar heim sem er ekki lokaður, ekki fullkomlega fanganlegur, heldur sífellt í fellingum og vindingum.

Af hverju stillingar?

Allar stillingar byggja í raun á vali. Þær segja ekki aðeins til um hvar tónar lenda, heldur um hvaða tengsl eru talin gild milli þeirra. Í pýþagórískri hugsun var tónbilum skipað eftir einföldum heiltöluhlutföllum, einkum 2:1 fyrir áttund og 3:2 fyrir fimmund o.s.frv. Þessi nálgun byggist á sterkri tengingu milli talna, hljóms og kosmískrar reglu víbrandi strengja. Tónrýmið er lesið sem röð einfaldra og stöðugra stærðfræðilegra sambanda.

Réttstilling (e. just intonation) heldur þessari hugsun áfram, en leitast við að skipuleggja fleiri tónbil með hreinum hlutföllum, svo sem 5:4 fyrir þríhljóm. Þar verða samhljómar skýrir og “hreinir”, en vandinn er sá að slíkt kerfi er illfæranlegt milli tóntegunda; það sem hljómar vel á einum stað brotnar auðveldlega annars staðar. Meðaltónsstillingar (e. meantone) voru tilraun til að milda þetta vandamál með því að dreifa frávikum, einkum í fimmundum, þannig að ákveðin svið tóntegunda yrðu nothæfari. Jafnstillingin (e. equal temperament) markar síðan afgerandi breytingu: hún lætur af þeirri kröfu að lykiltónbil séu fullkomlega hrein og velur í staðinn jafna skiptingu áttundarinnar í tólf jafnstór skref. Ávinningurinn er gríðarlegur sveigjanleiki, en kostnaðurinn er sá að öll bil verða í ákveðnum skilningi málamiðlanir.

Þessi þróun sýnir að stillingar eru aldrei hlutlausar. [1] Þær eru alltaf niðurstaða forgangsröðunar: á að hámarka hreinleika, flutningshæfni, hljóðfræðilegan einfaldleika eða menningarlega notkun? Í Fellingum tímans vaknar önnur spurning: hvað gerist ef forgangsröðin færist frá stöðugleika yfir í mismun? Hvað gerist ef tónrýmið á ekki að jafna út óreglu, heldur gera hana að virkri formgerð?

Af hverju 12 tónar?

Tólfskipting áttundarinnar er ekki náttúrulögmál heldur söguleg niðurstaða. Hún varð ráðandi vegna þess að hún leysti ákveðin hagnýt og fagurfræðileg vandamál í vestrænni tónlist. Hún varð að sameiginlegum mælikvarða sem gerði tónflutning mögulegan, opnaði skrif fyrir hljómborð, hreyfinga milli tóntegunda og gerði tónskáldum kleift að byggja stór tónverk á stöðugu undirlagi. En eins og mörg kerfi sem ná mikilli útbreiðslu, þá verður hún með tímanum ekki aðeins að verkfæri heldur að sjálfgefnum sjóndeildarhring (stundum gagnrýnislausum).

Þar liggur ástæðan fyrir því að tilraunir með aðrar stillingar skipta máli. Þær gera ekki aðeins ráð fyrir fleiri eða færri tónum, heldur afhjúpa sjálfa forsenduna að tónrými þurfi að vera jafnt og lokað. Þegar tónskáld og fræðimenn kanna kerfi handan áttundar (e. non-octave), óræðar stillingar (e. irrational tunings) eða svokölluð EDN-kerfi[2], þar sem annar „endurtekningarkvarði“ er valinn í stað 2:1, er verið að opna tónfræðina aftur sem rannsóknarsvið fremur en að samþykkja hana sem lokaðan staðal.[3]

Af hverju áttundir?

Áttundin hefur auðvitað gríðarlega sérstöðu vegna þess að hún er bæði skynræn og formgerðarleg. Tónar sem eru aðskildir með hlutfallinu 2:1 eru ekki eins, en þeir skynjast samt sem skyldir með svo afgerandi hætti að þeir mynda einingu. Þetta hefur gert áttundina að meginramma tónrýmisins. Hún lokar kerfinu. Hún segir: hér endurtekur sig sami flokkur, á nýju hæðarstigi.

En hvað gerist ef maður hverfur frá þessari hringrás? Hvað gerist ef tónrýmið lokast ekki á 1200 centum[4], eða ef það er yfirleitt ekki skipulagt sem kerfi með endurkomu? Slíkar spurningar hafa legið að baki mörgum „non-octave“ tilraunum á 20. og 21. öld, þar á meðal Bohlen–Pierce kerfinu sem hefur 3:1 sem lotu (e. period) og ýmsum phi-tengdum skölum þar sem gullinsniðið (φ) eða önnur óræð hlutföll koma í stað eða trufla hina hefðbundnu áttund.[5]

Hér er gagnlegt að staldra við hugtakið ósammælanleiki (e. incommensurability). Þegar tölur eða hlutföll eru ósammælanleg, er ekki hægt að leggja þau undir einn einfaldan sameiginlegan mælikvarða. Þetta leiddi að óræðum tölum (e. irrational numbers), þ.e. engin almenn brot ná að fanga þær (t.d. π og e). Í tónfræðilegu samhengi merkir þetta að bilin ganga ekki upp í snyrtilegu, reglulegu neti. Gullinsniðið er sérlega áhugavert í þessu tilliti, bæði vegna þess að það er órætt og vegna þess að það er erfiðara að nálgast það með einföldum heiltölubrotum heldur en flest önnur hlutföll (og því er φ oft sögð óræðasta talan[6]). Því getur það virkað sem tónfræðilegur “truflari”: það dregur tónrýmið frá einfaldri endurkomu og yfir í opnara, snúnara og síbreytilegt ferli.[7]

Raftónverkið Stria eftir John Chowning er gott dæmi. Verkið sýnir hvernig hægt er að yfirgefa heim áttundarinnar án þess að falla í óskipulagt tómarúm. Í Stria er gullinsniðið notað sem fast skipulagsafl bæði í tíðnirými og hljóðhönnun. Chowning byggði verkið á átta „gervi-áttundum“, hverri skipt niður í níu tóna, og notaði φ líka sem hlutfall í FM-hljóðmyndun, þannig að tónrými og hljóðróf urðu hlutar af einni og sömu skipan. Útkoman er ekki hefðbundið „tónal“ rými, heldur heill hljóðheimur sem “snýst” um φ.[8]

Þarna opnast ein möguleg leið frá heimi áttundarinnar yfir í aðrar stillingar og aðrar nálganir. Stria er ekki fyrirmynd í þeirri merkingu að Fellingar tímans endurtaki aðferð Chownings heldur sýnir okkur að þegar áttundin er ekki lengur sjálfgefinn endapunktur, verður tónrýmið að rannsóknarsviði. Í því samhengi verður spurningin ekki lengur „hvernig á að skipta áttundinni?“ heldur „hvernig á að móta dreifingu?“

Leit að ójöfnum tónbilum: φ-spírall sem aðferð

Einfaldasta leiðin til að nota gullna sniðið fyrir stillingar væri að láta tíðnir fylgja hreinni veldisröð, til dæmis:

Slík aðferð er áhugaverð, en hún leiðir ekki að þeirri gerð dreifingar sem leitað var að í Fellingum tímans. Ástæðan er sú að þegar slíkri veldisröð er varpað yfir í cent-rými verða bilin á milli samliggjandi tóna í reynd jöfn eða nánast jöfn. Dreifingin virðist ójöfn í tíðnirými, því bil í Hz stækka með hverju skrefi en þegar sömu röð er varpað yfir í cent-rými, sem er lógaritmískt rými, verður hún línuleg: öll skref eru jafnstór. Þess vegna dugði einföld phi-veldisröð ekki ein og sér til að framleiða þau ójöfnu tónbil sem leitað var að í verkinu. Einföld mynd af þessu mætti setja fram svona:

Hz:

|–|—|—–|——-|————-|

cent:

|—|—|—|—|—|—|

Cent-rýmið felst í því að skoða veldisvöxt í lógaritmísku formi. Röð sem er veldisleg í tíðnum (hz) verður línuleg í centum, því cent mæla hlutfallslega fjarlægð milli tíðna fremur en einfaldan mismun í Hz. Þetta samræmist skynjun tónbila, þar sem eyrað bregst fyrst og fremst við hlutföllum (sbr. 220–440 Hz og 440–880 Hz sem sams konar bil, þótt mismunurinn í Hz sé mjög ólíkur).

Af þeirri ástæðu dugði einföld phi-veldisröð ekki til að framleiða þá ójöfnu tónbilaskipan sem leitað var að í verkinu. Því þurfti að þróa aðferð sem mótaði dreifinguna sjálfa á annan hátt.

Það sem sóst var eftir var annars konar hegðun: ekki einfaldlega nýr „generator“ eða ný lotustærð, heldur ójöfn tónbilaskipan (e. nonuniform intervals) þar sem sumir tónar dragast saman í þétta klasa en aðrir dreifast meira. Með öðrum orðum: markmiðið var ekki aðeins að fara handan áttundarinnar, heldur að móta tónrými þar sem mismunur í þéttleika yrði að formgerð.

Af þeirri ástæðu voru gerðar prufur með ýmsum aðferðum. Í stað þess að skilgreina tónana beint var byrjað á skrefaröð sem síðan var mótuð og aflöguð (eða trufluð). Eftir nokkrar tilraunir sem misheppnuðust kom í leitirnar formúla sem reyndar leggur upp frá jöfnum skrefum, en þau eru bjöguð með φ og sínus-falli:

Hér er 1200/N einhver upphafleg jöfn skipting, en hún er ekki látin standa óhreyfð. Í stað þess kemur log₂(​φ) inn sem mælikvarði á áhrif gullna sniðsins í lógaritmísku tíðnirými, á meðan α er stuðull sem stjórnar styrk skekkjunnar. Sínus-liðurinn sér síðan um að beygingin verði ekki brotakennd heldur slétt og samfelld yfir röðina (samt ósamhverft vegna φ-áhrifa).

Skrefin (tónbilin) S_n eru því ekki jöfn, heldur breytileg. Þau eru síðan lögð saman í uppsafnaða röð C (fyrir cent):

Þar með verður til röð cent-staða eða punkta sem lýsir upphaflegri ferð um tíðnirýmið. Næsta aðgerð fólst í því að fella þessa röð niður í eitt svið með modulo-aðgerð:

Að lokum er punktunum raðað í hækkandi röð eða við getum sagt að þeir séu felldir saman (e. folded) sem líkist „spectral“ aðferðum þegar yfirtónum er varpað niður í eina áttund nema hér erum við að tala um röð tónbila í centum. Þetta skref er afgerandi, því þar breytist framleiðsluröðin í nýja dreifingu. Tónarnir birtast þá sem punktasafn innan gervi-áttundar (sem er misstór), og bilin á milli næstu tóna verða afleiðing af samspili þriggja þátta:

• upphaflegt grunnskref,
• φ-skekktrar sínus-beygju,
• og röðunar eftir modulo-vörpun.

Þannig verður til tónrými sem hvorki er jafnt né tilviljanakennt. Það er ekki einföld φ-veldisröð, en heldur ekki hefðbundin jafnskipting. Það er frekar líkan af φ-spíral, þar sem dreifing, þéttleiki og klösun birtast sem virkir ferlar. Það sem heyrist sem þétting eða gliðnun í tónrýminu er því bein afleiðing af φ-skekktri skrefaröð, modulo-vörpun og röðun. Með öðrum orðum: stillingin er ekki skipting heldur topólógía dreifingar, þ.e.a.s. lögun og landslag dreifingar.

Með þessari aðferð varð mögulegt að móta þær þrjár upplausnarfjölskyldur sem notaðar eru í verkinu.[9] Lág-upplausn sýnir skýra og grófa ósamhverfu, mið-upplausn marglaga þéttleika, og há-upplausn leiðir að áferðum sem nálgast samfellu. Í öllum tilvikum er sama grundvallarhugsunin sem ræður ferðinni: að láta φ ekki aðeins skilgreina hlutfall, heldur móta hegðun tónrýmisins sjálfs.

Stillingar verða upplausnir (að stilla spírala)

Heildarkerfið samanstendur af þrettán stillingum sem flokkast sem sagt í þrjár fjölskyldur: lág-upplausn, mið-upplausn og há-upplausn. Þótt hugtakið „upplausn“ sé fengið að láni úr stafrænni myndvinnslu á það hér einfaldlega við um þéttleika tónrýmis: hversu margir tónar falla innan ákveðins sviðs, og hversu fín eða gróf dreifingin verður.

Lág-upplausn gefur fáar stöður innan gervi-áttundar (1200/N þar sem N er lág tala 7<N<13). Þar verður hvert bil nokkuð áberandi, og klösun (e. clustering) birtist með einföldum og skýrum hætti. Mið-upplausn eykur punktafjöldann, þannig að rýmið verður marglaga; það myndast svæði með þéttingu og önnur með meiri opnun. Há-upplausn þrengir síðan dreifinguna svo mikið að einstök bil hætta smám saman að vera aðalatriði og víkja fyrir áferð.

Hverfum nú frá stærðfræðilegu sjónarhorni og skoðum, myndrænt og hljóðrænt, þrjú dæmi úr þessum fjölskyldum.

Dæmi 1: Lág-upplausn-A (ETφ9) við hlið 12-TET stillingar út frá mið-c með cent gildum frá 0-punkti (námunduð gildi).

Í dæmi 1 sjást fáir punktar innan gervi-áttundar, og ójafnan verður því mjög sýnileg og heyranleg. Sumir tónar falla nærri hvor öðrum, önnur bil opnast verulega. Þessi útgáfa sýnir hvað gerist þegar φ-spírallinn er skorinn í grófa upplausn.

Hljóðdæmi 1: skalahreyfing á lág-upplausn-A (ETφ9).

Dæmi 2: Mið-upplausn-A (ETφ14) við hlið 12-TET stillingar út frá mið-c með cent gildum frá 0-punkti (námunduð gildi).

Hér í dæmi 2 er sama hugmynd orðin þéttari. Dreifingin verður marglaga og bilin smærri, en samt ekki regluleg. Hlutföllin halda áfram að vera ósamhverf og ósammælanleg, en nú verður myndin flóknari.

Hljóðdæmi 2: Skalahreyfing á mið-upplausn-A (ETφ22).

Dæmi 3: Há-upplausn-B (ETφ29) við hlið 12-TET stillingar út frá mið-c með cent gildum frá 0-punkti (námunduð gildi).

Í dæmi 3 nálgast kerfið samfellu (sumir punktar hreinlega skarast næstum alveg). Punktarnir verða svo margir að stillingin virkar síður sem skali í hefðbundnum skilningi heldur frekar sem bjagað hljóðróf en er þó einnig mjög áhugaverð fyrir hljómrænt efni.

Hljóðdæmi 3: Skalahreyfing á há-upplausn-B (ETφ34).

Frá stillingum yfir í kliða (upplausn í upplausn)

Mikilvægt atriði verksins fellst í vinnslu á klið (e. noise). En í verkinu er kliður ekki aukaefni, afgangsefni eða aukaverkun stillinganna heldur framhald þeirra. Þegar sömu tónasöfn eru ekki spiluð í röð heldur virkjuð samtímis, verða þau að mislitum klið. Þar skiptir upplausnin höfuðmáli: lág-upplausn getur af sér grófari og kornóttari klið, mið-upplausn marglaga og titrandi áferð, en há-upplausn leiðir að þéttari og samfelldari massa. Við getum hugsað þetta sem ólíka 128-tóna hljóma, sem verða misþéttir eftir upplausn stillinganna og valda mismikilli upplausn af öðrum toga. Sama byggingarregla birtist því á tveimur stigum: sem tónræn dreifing þegar punktarnir eru aðskildir í tíma, og sem kliðlitur þegar þeir hljóma allir í einu. Útkoman er í formi ólíkra kliða, hver með sinn bjagaða eiginleika.

Því má bæta hér við þremur samsvarandi dæmum þar sem ólík upplausn leiðir til upplausnar, í eldri merkingu orðsins (sbr. glundroða).

Hljóðdæmi 4: Lág-upplausn A sem kliður.

Hljóðdæmi 5: Mið-upplausn A sem kliður.

Hljóðdæmi 6: Há-upplausn B sem kliður.

Þessi dæmi sýna að upplausnin er ekki aðeins tónfræðileg eða stillingafræðileg heldur líka hljóðfræðileg breyta sem mótar lit kliðanna.

Scala og framkvæmd

Hér vil ég snerta örlítið á praktískri hlið. Þegar þessar stillingar hafa verið mótaðar sem punktasöfn er þeim varpað yfir allt tónsviðið í forritinu Scala[10], sem býr til stillingaskrár sem síðan eru nýttar til að keyra MIDI-skrár (þar sem grunnskipulag tóna liggur ásamt hljómaframvindu). Scala forritið er sérlega mikilvægt í þessu samhengi þar sem það styður bæði við smíði og framkvæmd sértækra örtónastillinga, þar á meðal „non-octave“ kerfa og sérsniðinna scala-skráa fyrir rafhljóðfæri. MIDI-efnið í Fellingum tímans mótast því og bjagast af þessum stillingum, en þær umbreytast enn frekar í næstu vinnsluaðgerðum þar sem þær eru látnar hljóma í gegnum hljóðhönnuð VST-hljóðfæri (sem taka líka á sig dýnamískar hreyfingar sem og hreyfingar í rými í gegnum fjölóma hátalarakerfi). Sú vinnsla er þó ekki viðfangsefni þessarar greinar en þetta ferli endar allt í tölvuafspilun sem flytjendur styðjast svo við í sínum flutningi þar sem stillingarnar virka sem eins konar viðmið og leiðarnet. Þessi stillingaheimur er auðvitað erfiður viðureignar þegar kemur að flutningi tónlistar en ef stuðst er við blöndu af tölvuafspilun og lifandi flutningi (eins og gert er í Fellingum tímans) kemur í ljós að hægt er að tileinka sér hinar ótrúlegustu stillingar.

Hugmyndafræði verksins: mismunur og óáþreifanleg heild

En hvernig tengist þessi stillingafræði við hugmyndafræði verksins? Fellingar tímans byggir ekki á hugmynd um lokaða heild sem hlustandi getur numið í heild sinni og síðan “eignast” eða fangað sem yfirsýn. Þvert á móti er heildin skipulögð sem eitthvað sem dregur sig undan, er alltaf verðandi, óendanleg jafnvel. Hér má tala um verufræði mismunarins (e. differential ontology): heildin er ekki frumforsenda sem hlutarnir vísa í, heldur birtist aðeins í gegnum mismunandi fellingar, staðbundin sjónarhorn og tímabundna aðkomu. Þú nærð aldrei heildinni (það er alltaf nýtt sjónarhorn handan við hornið).

Og heimurinn er ekki lokaður inni í sjálfum sér: „The world is an infinity of curvatures and inflections…“ [11] og er ávallt að fella (og fela) fellingar saman, samanbrotnar framvindur sem eru einnig inni í öðrum fellingum:

„Unfolding is thus not the contrary of folding, but follows the fold up to the following fold…the whole world is only a virtuality that currently exists only in the folds of the soul which convey it…”.[12]

Í þessari póststrúktúralísku hugsun er heildin ekki lokaður hlutur heldur eitthvað sem birtist aðeins í hreyfingum, í brotum, í staðbundnum afhjúpunum. Það sem mætti kalla óáþreifanlega eða ófanganlega heild er ekki skortur, heldur meginregla verksins. Eins er farið með tímann sjálfan, hann er ekki sléttur með jafnri skiptingu eins og klukkan vill meina (og jafnvel tvær klukkur ná ekki samslætti ef tekið er tillit til afstæðiskenningarinnar) heldur allur í fellingum, hrukkum og krumpi.

Þessi hugsun birtist í Fellingum tímans á mörgum stigum: í margskiptri framsetningu verksins og lengd þess (verkið er 25 klst. í heild sinni, 5×5 klst. þættir), í rýmisvæðingu þess, í því að enginn hlustandi fær sömu reynslu og annar, og einnig í tónrýminu sjálfu. Stillingarnar spegla þetta því þær loka sig ekki í einfaldri endurtekningu. Þær setja ekki fram einn skýran ramma, heldur rammagerð sem umbreytist, dreifingu sem verður aðeins numin í köflum, í staðbundnum klösum, í áþreifanlegum en ósamhverfum samböndum. Þannig er tónfræðin ekki bara tæknilegt undirlag heldur bein myndhverfing hugmyndafræðinnar: heildin er aðeins í fellingunni, og tónrýmið er aðeins gefið sem tímabundin sýn á stærra, ólokanlegt ferli.

Leitin að óræðum stillingum handan áttundar er í þessu verki ekki sérviskuleg tilraun til að “flækja” tónhæð, heldur leið til að opna tónrýmið sem lifandi, breytilegt og ósamhverft form. Með því að fara frá jafnstillingu yfir í ójöfn tónbil (þar sem ójafnan er lifandi), frá lokaðri áttund yfir í φ-mótaða dreifingu, og frá skala yfir í upplausn, verður tónfræðin að virku formgerðarafli. Hún skipuleggur ekki aðeins hvaða tónar eru notaðir, heldur hvernig verkið hugsar tíma, rými, hlustun og heild.

Stria sýnir að hægt er að yfirgefa áttundina og byggja annan heim. Fellingar tímans gengur að nokkru leyti áfram í sömu átt, en velur að láta φ ekki verða að föstu skipulagslögmáli heldur að krafti mismunarins. Þar með verður stillingin ekki hrein röð heldur felling innan fellinga; ekki lokað kerfi heldur óræð og óáþreifanleg heild í sífelldri dreifingu. Heildin verður því ferli sem heldur áfram að afhjúpa sig án þess að lokast, eins og óræð tala sem hefur innri reglu en enga endanlega lokun.

Heimildir

Bohlen, Heinz. “The 833 Cents Scale: An Experiment on Harmony” (Huygens-Fokker Foundation, 2012).

Deleuze, Gilles. The Fold: Leibniz and the Baroque (University of Minnesota Press, 1993).

Dettmann, Carl P., and L. Taylor-West. “Algebraic Tunings” (Journal of Mathematics and Music 18, no. 2, 2024).

Meneghini, Marco, et al. “Stria, by John Chowning: Analysis of the Compositional Process” (Proceedings of CIM 2003).

O’Connell, William. “The Tonality of the Golden Section” (Xenharmonikôn 15, 1993).

Rasch, Rudolf. “Tuning and Temperament” in The Cambridge History of Western Music Theory (Cambridge University Press, 2002).

Scala. “Scala: A Powerful Software Tool for Experimentation with Musical Tunings” (Huygens-Fokker Foundation).

Sethares, William A. Tuning, Timbre, Spectrum, Scale, 2nd ed. (Springer, 2005).

Smethurst, Graham. “Two Non-Octave Tunings by Heinz Bohlen: A Practical Proposal” (Bridges Conference Proceedings, 2016).

—

[1] Ágætt yfirlit á þessu er að finna í: Rasch R. Tuning and temperament. In: Christensen T, ed. The Cambridge History of Western Music Theory. The Cambridge History of Music. (Cambridge University Press; 2002:193-222).

[2] EDN stendur fyrir “Equal Divisions of the N-th” (jafnskipting á N-hluta), og er útvíkkun á hinu klassíska 12-tóna jafnstillta kerfi (TET).

[3] Dettmann & Taylor-West (2024); O’Connell (1993); Smethurst (2016).

[4] Áttund er skilgreind sem tónbil með tíðnihlutfallið 2:1, sem samsvarar nákvæmlega 1200 centum í logaritmísku mælikerfi.

[5] Smethurst (2016); Dettmann & Taylor-West (2024).

[6] Weisstein, Eric W. „Golden Ratio.“ MathWorld, Wolfram Research. Skoðað 17. apríl 2026. https://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html

[7] Dettmann & Taylor-West (2024); Bohlen (2012/1999)

[8] Meneghini et al. (2003); Laura Zattra (2016)

[9] Þetta er samt ekki eina aðferðin sem gæti gengið og því eru augljóslega fleiri möguleikar til að rannsaka ójafna tónbilaskipan, þar sem tónbilin endurtaka sig ekki eins og í jafnstillingu. Haldið verður áfram með að rannsaka ójafnar dreifingar og meðhöndla stillingar eins og ólíka skala til að ferðast á milli.

[10] Sjá heimasíðu forritsins hér: https://www.huygens-fokker.org/scala/

[11] Deleuze, G. The Fold: Leibniz and the Baroque (University of Minnesota Press, 1993).

[12] Deleuze, G. The Fold: Leibniz and the Baroque (University of Minnesota Press, 1993).